CONJUNTO DE NUMEROS ENTEROS Y RACIONALES

CONJUNTO DE NUMEROS ENTEROS Y RACIONALES

NÚMEROS ENTEROS.

Son todos los números naturales y sus opuestos, es decir, los números enteros positivos y negativos.

Z = {1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4...}

Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.

Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.

Números Enteros Positivos y Negativos

a) Números Enteros Positivos:
Se llaman así a todos los números que representen una cantidad. Los números naturales son los enteros positivos, con la única diferencia que a la hora de representar un entero positivo podemos anteponerle el signo +.
El número 8 es un entero positivo, puedo representarlo como 8 o como +8
El número 24 es un entero positivo, puedo representarlo como 24 o como +24
Los números 11, +32, +7, 35 son todos enteros positivos (no es necesario anteponer +).
b) Números Enteros Negativos:
Los enteros negativos representan una cantidad en contra o algo que no tenemos y necesariamente debemos anteponerle el signo -.
El número -8 es un entero negativo. El número -24 es un entero negativo.

Los números -11, -32, -7, -35 son todos enteros negativos y por ello llevaran necesariamente el signo -.

Adición y Sustracción de Números Enteros

Tendremos dos posibilidades, las cuales son:

a) Si tenemos números de igual signo:
Cuando tengamos dos o más números de igual signo, lo que tendremos que hacer es sumar las cantidades y al resultado anteponerle el mismo signo.
Observemos el siguiente caso: 35 +46 +11
35 +46 +11 En esta operación tenemos tres números positivos: +35, +46 y +11
35 +46 +11 Entonces lo que debemos hacer es sumar los tres números, nos dará: 92
+92 = 92 El resultado también será positivo.
Otro ejemplo podría ser: -12 -28 -21
-12 -28 -21 En esta operación tenemos tres números negativos: -12, -28 y -21-12 -28 -21 Entonces lo que debemos hacer es sumar los tres números, nos dará: 61
-61 El resultado también será negativo, necesariamente le antepondremos -.

b) Si tenemos números de signos diferentes:
Si tenemos números de diferentes signos, restamos el número mayor menos el número menor y el resultado llevara el signo del número mayor.
Veamos: 35 -46
35 -46 En esta operación tenemos un número positivo y otro negativo.
35 -46 El mayor es 46 y el menor 35, entonces: 46 - 35 = 11
-11 Como el número mayor es 46, y este es negativo, el resultado será también negativo.
Otro ejemplo: -12 +28
-12 +28 En esta operación tenemos un número negativo y otro positivo.
-12 +28 El mayor es 28 y el menor 12, entonces: 28 -12 = 16
+16 = 16 Como el número mayor es 28, y este es positivo, el resultado será también positivo

Multiplicación de Números Enteros
Cuando tengamos que multiplicar dos o más números enteros, lo primero que debemos hacer es proceder a multiplicar los números sin importarnos el signo que estos tengan. Una vez que hemos hallado el resultado, recién colocaremos el signo que corresponda de acuerdo a la siguiente Ley de Signos:
(+) x (+) = (+) El resultado de multiplicar dos números positivos es un número positivo
(+) x (-) = (-) El resultado de multiplicar un número positivo por otro negativo es un número negativo
(-) x (+) = (-) El resultado de multiplicar un número negativo por otro positivo es un número negativo
(-) x (-) = (+) El resultado de multiplicar dos números negativos es un número positivo
Por ejemplo, queremos multiplicar -20 x 5
-20 x 5 Recordemos que cuando un número no lleva signo, es positivo.
-20 x + 5 En esta operación 20 es un número negativo y 5 es un número positivo.
20 x 5 = 100 Nos olvidamos momentáneamente de los signos y hacemos 20 x 5 = 100
-20 x 5 = -100 Como tenemos un número negativo y otro positivo, el resultado será número negativo
Debemos emplear el mismo procedimiento para cualquier caso de multiplicación de números enteros o con signo que se nos presente.

EJERCICIOS DE NÚMEROS ENTEROS

Escribe el número que mejor representa la situación que se plantea: a) Bajamos al sótano 3 b) Nació en el año 234 antes de Cristo c) El avión vuela a 2455 m de altura d) El termómetro marcaba 5º C bajo cero

2. Escribe el signo < o > según convenga: a) –2 -6 b) –2 +4 c) +5 +12 d) +4 -8

3. Ordena de menor a mayor a) +6, -5, -10, +12 b) +4, -20, -7, -4

4. Completa adecuadamente a) |-5| = b) |+7| = c) op(+6)= d) op(-4

Soluciones:

1. a) –3 b) –234 c) +2455 d) –5

2. a) –2 > -6 b) –2 < +4 c) +5 < +12 d) +4>-8

3. a) –10<-5<+6<+12 b) –20<-7<-4<+4

4. a) +5 b) –7 c) –6 d) +4

5. Realiza las siguientes sumas de números enteros a) +7 +4 = b) –5 –4 = c) +8 –2 = d) –5 +9 =

6. Realiza la siguientes sumas de números enteros usando el método de agrupar a) –4 + 5 –3 = b ) +3 –5 +7 = c) –3 + 5 –8 = d) +4 – 7 –8 =

7. Realiza la siguientes sumas de números enteros usando el método de tener y deber a) –4 + 5 –3 = b ) +3 –5 +7 = c) –3 + 5 –8 = d) +4 – 7 –8 =

8. Escribe el resultado a) + (+3) = b) – (+4)= c) – (-5)= d) + (-2) =

9. Realiza las siguientes sumas y diferencias de números enteros a) +(+3) + (-5) = b) –(+4) – (+6) = c) – (-5) + (+7) = d) -(+3) + (+1) – (-4) = e) -(+2) - (+1) – (+5) = f) -(+2) + (-1) + (-4) – (-5)= g) -(+1) - (+3) - (-4) – (-5)=

Soluciones: 5) a) +7 +4 = +11 b) –5 –4 = -9 c) +8 – 2 = +6 d) –5 +9 = +4

6) a) –4+5-3 = +1-3=-2 b) 3 –5+7 = -2 +7 =+5 c) –3+5-8=+2-8=-6 d) +4-7-8 = -3-8 =-11

7) a)-4+5-3 = -7+2=-5 b) 3-5+7 =-5+10=+ c)-3+5-8 =-11+5=-6 d) +4-7-8= 4-15 =-11

8) a) +3 b) –4 c) +5 d) –2

9) a) +3-5=-2 b)-4-6=-10 c) +5+7 = +12 d) –3+1+4=+2 e)-2-1-5 = -8 f) –2-1-4+5 = -2 g) –1-3+4+5 = 5

LOS NÚMEROS ENTEROS EN LA VIDA COTIDIANA

Los números negativos aparecen en muchas situaciones de la vida diaria.

Para señalar el número de plantas de un edificio en el ascensor. Utilizamos números negativos para las plantas que están por debajo de cero, es decir, para los sótanos o plantas subterráneas , para medir temperaturas, el termómetro mide la temperatura en grados , cuando esta por encima de 0 grados se indica números enteros positivos y cuando esta por debajo de 0 grados se indica números enteros negativos.

NÚMEROS RACIONALES

Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros.

2/6

8/11

-5/8

El número racional se puede presentar de 2 formas: como fracción o por el valor numérico de la fracción (resultado de dividir el numerador por el denominador).

Los números racionales anteriores serían:

0,333

0,7272

-0,625

El conjunto de los números racionales se representa con la letra “Q”.

Distintas fracciones pueden tener el mismo valor numérico:

2/10 = 0,2

3/15 = 0,2

-1/-5 = 0,2

-2/-10 = 0,2

-3/-15 = 0,2

Se dice que estas fracciones son equivalentes y por lo tanto equivalen al mismo número racional.

Un número racional se puede representar por infinitas fracciones equivalentes pero por una única expresión decimal (su valor numérico).

Los números enteros forman parte de los números racionales ya que todos ellos se pueden representar como una fracción cuyo numerador es el número entero y su denominador es 1.

2 = 2 / 1

-7 = -7 / 1

12 = 12 / 1

El conjunto de los números racionales incluye al conjunto de los números enteros, además de a otros números que no son enteros (números con decimales).

Entre dos números racionales siempre hay infinitos números racionales, por lo tanto nunca se podrá decir que dos números racionales son consecutivos

Ejemplo: 0,23 y 0,24

Entre estos 2 números se encuentran:

0,2301

0,235

0,23699

0,23901….

Esto les diferencia de los números naturales y enteros donde sí hay números consecutivos:

Por ejemplo, los números enteros -3, -2, -1, 0, 1, 2…. son números consecutivos.

EJERCICIOS DE NÚMEROS RACIONALES

1. Determina de qué tipo son los decimales que resultan de las fracciones siguientes:

a) 92 / 73

b) 57 / 22

c) 22 / 36

Solución: a) 1.260273972602739726027397260274... Periódico puro b) 2.590909090... Periódico mixto c) 0.75 Decimal exacto

2. Calcula las fracciones generatrices de los siguientes decimales:

a) x=2.375 solución: donde 1000 x 2375= 2375/1000

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN:

Procedemos según sea el caso de los denominadores. Cabe destacar que los enteros pueden ser positivos o negativos así que debe recordarse la Ley de los signos.

Signos iguales se suman y se coloca el mismo signo + + = + ; - - = -

Signos diferentes se restan y se coloca el signo del mayor + - = - ; - + = -

IGUAL DENOMINADOR:

Para sumar fracciones con igual denominador, se suman los denominadores y se deja el mismo denominador

DISTINTO DENOMINADOR:

Para esto de buscan dos fracciones equivalentes de los dados que tengan el mismo denominador, después se suman dichas fracciones equivalentes.

Método de las cruces:

El numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera fracción, luego el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción.

a + c

b d

a x d + b x c

b x d

Siendo

b y d≠O

EL MINIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m):

El m.c.m se define como elementos comunes y no comunes con su mayor exponente. Esto quiere decir que los números son descompuestos en sus factores primos (2, 3,5 7, 11…) y se toman en cuenta los de mayor exponente.

El m.c.m va a ser el denominador común y los numeradores el resultado del m.c.m entre el denominador por el numerador.

MULTIPLICACIONES:

La multiplicación de dos números racionales es otro número racional cuyo numerador es el producto de los denominadores es el producto de los denominadores, sean a/b y c/d dos números racionales: donde b y d ≠ O se cumple que:

Ejemplo:

-3 x 8 = - 24

5 7 35

- 2 x 7 x 3 = - 42

5 5 5 125

POTENCIA DE UNA POTENCIA:

Para toda fracción a/b donde a/b ≠O m, n E Z, se cumple que para calcular la potencia de una potencia se deja la misma base y se multiplican los exponentes

NÚMEROS RACIONALES Y LA VIDA COTIDIANA

Los números racionales debido a que están conformados por todos los enteros y fraccionarios consideramos a todos ellos en nuestra vida cotidiana , por ejemplo ¿Cómo saber cuantos toros tenemos? ¿Qué día es hoy? ¿Cuándo naciste? como representar la temperatura bajo cero.

El origen de las cosas ...

¿Sabías que el cero tardó mucho tiempo en utilizarse? En la mayoría de los sistemas numéricos antiguos no existía el cero. Se cree que fueron los hindúes los que lo utilizaron por primera hacia el año 650 D.C

Los signos de sumar y restar + y – comenzaron a usarse a partir del siglo XV. Antes se usaban palabras o abreviaturas. En el caso de la suma se usaba p (plus) y para la resta m (minus)

El signo = apareció en el siglo XVI y parece que la idea surgió porque “no hay dos cosas más iguales que dos rectas paralelas”